Cálculo Ejemplos

$f (x) = 14 x {(x - 1)}^{3}$

Paso 1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x {(x - 1)}^{3}$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$14 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Paso 4.6

Multiplica ${(x - 1)}^{3}$ por $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $14$ .

$42 (x ({(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Paso 5.3

Factoriza $14 {(x - 1)}^{2}$ de $42 x {(x - 1)}^{2} + 14 {(x - 1)}^{3}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $14 {(x - 1)}^{2}$ de $42 x {(x - 1)}^{2}$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Paso 5.3.2

Factoriza $14 {(x - 1)}^{2}$ de $14 {(x - 1)}^{3}$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$

Paso 5.3.3

Factoriza $14 {(x - 1)}^{2}$ de $14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x + x - 1)$

Paso 5.4

Suma $3 x$ y $x$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (4 x - 1)$

Paso 5.5

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$14 ((x - 1) (x - 1)) (4 x - 1)$

Paso 5.6

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Paso 5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Paso 5.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$14 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Paso 5.7.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$14 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Paso 5.7.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$14 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Paso 5.7.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$14 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Paso 5.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$14 (x^{2} - x - x + 1) (4 x - 1)$

Paso 5.7.2

Resta $x$ de $- x$ .

$14 (x^{2} - 2 x + 1) (4 x - 1)$

Paso 5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(14 x^{2} + 14 (- 2 x) + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

Paso 5.9

Simplifica.

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Paso 5.9.1

Multiplica $- 2$ por $14$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

Paso 5.9.2

Multiplica $14$ por $1$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$

Paso 5.10

Expande $(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$14 x^{2} (4 x) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11

Simplifica cada término.

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Paso 5.11.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$14 \cdot 4 x^{2} x + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.11.2.1

Mueve $x$ .

$14 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.11.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$14 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$14 \cdot 4 x^{1 + 2} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$14 \cdot 4 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.3

Multiplica $14$ por $4$ .

$56 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.4

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x \cdot x - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.11.6.1

Mueve $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 (x \cdot x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.7

Multiplica $- 28$ por $4$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.8

Multiplica $- 1$ por $- 28$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.9

Multiplica $4$ por $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x + 14 \cdot - 1$

Paso 5.11.10

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

Paso 5.12

Resta $112 x^{2}$ de $- 14 x^{2}$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

Paso 5.13

Suma $28 x$ y $56 x$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 84 x - 14$