Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (e^{x} - 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x} - 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} - 1$ .

$\frac{1}{e^{x} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{e^{x} - 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} - 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{e^{x} - 1} (e^{x} + 0)$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{x} - 1} e^{x}$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{e^{x} - 1}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$