Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\cos (\tan (x)))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (\tan (x))$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (\tan (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (\tan (x))$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\tan (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$ .

$- \sec^{2} (x) \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Paso 4.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Paso 4.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Paso 4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Paso 4.5

Combina $\cos (\cos (\tan (x)))$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Paso 4.6

Combina $\sin (\tan (x))$ y $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.7

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 4.8

Separa las fracciones.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Paso 4.9

Reescribe $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ como un producto.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Paso 4.10

Escribe $\sin (\tan (x))$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Paso 4.11

Simplifica.

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Paso 4.11.1

Divide $\sin (\tan (x))$ por $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Paso 4.11.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Paso 4.12

Reescribe $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)}$ como un producto.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Paso 4.13

Escribe $\cos (\cos (\tan (x)))$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Paso 4.14

Simplifica.

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Paso 4.14.1

Divide $\cos (\cos (\tan (x)))$ por $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Paso 4.14.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Paso 4.15

Multiplica $\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

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Paso 4.15.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \sin (\tan (x)))$

Paso 4.15.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \sin (\tan (x)))$

Paso 4.15.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) {\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Paso 4.15.4

Suma $1$ y $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$