Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3}$ , $[0, 1]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 1]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x^{3} d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{4} x^{4}$ en $1$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Paso 6.2.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Paso 6.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0)$

Paso 6.2.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}))$

Paso 6.2.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} + 0)$

Paso 6.2.6

Suma $\frac{1}{4}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4})$

Paso 7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 7.2

Suma $1$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{4}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4}$

Paso 9