Cálculo Ejemplos

$y = x + 2 \sin (x)$

Paso 1

Escribe $y = x + 2 \sin (x)$ como una función.

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (x))$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sin (x)$

Paso 3.3

Resta $2 \sin (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Paso 6

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 7

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 9

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 10

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 10.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 10.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 10.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 11

La solución a la ecuación $x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{2 π}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 2 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 13.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.3.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \sqrt{3}$

Paso 13.4

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Paso 14

$x = \frac{2 π}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{2 π}{3}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 15.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 15.2.2

La respuesta final es $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{4 π}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 17.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 17.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.3.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.3.4

Reescribe la expresión.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Paso 17.4

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Paso 17.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3}$

Paso 18

$x = \frac{4 π}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{4 π}{3}$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{4 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 19.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Paso 19.2.2

La respuesta final es $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = x + 2 \sin (x)$ .

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$ es un máximo local

$(\frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} - \sqrt{3})$ es un mínimo local

Paso 21