Cálculo Ejemplos

lim x \to \infty x e^{- x}

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$

Paso 1

Reescribe

x e^{- x}

$x e^{- x}$ como

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$ .

lim x \to \infty \frac{x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{lim x \to \infty x}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 2.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

\frac{\infty}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 2.1.3

Como el exponente

x

$x$ se acerca a

\infty

$\infty$ , la cantidad

e^{x}

$e^{x}$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim x \to \infty \frac{x}{e^{x}} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

lim x \to \infty \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ donde

$a$ =

$e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción

$\frac{1}{e^{x}}$ se acerca a

$0$ .

$0$