Cálculo Ejemplos

lim n \to \infty \frac{n}{2^{n}}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{lim n \to \infty n}{lim n \to \infty 2^{n}}

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Paso 1.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

\frac{\infty}{lim n \to \infty 2^{n}}

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Paso 1.1.3

Como el exponente

n

$n$ se acerca a

\infty

$\infty$ , la cantidad

2^{n}

$2^{n}$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.2

Como

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim n \to \infty \frac{n}{2^{n}} = lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

lim n \to \infty \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ es

$a^{n} \ln (a)$ donde

$a$ =

$2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

Paso 2

Mueve el término

$\frac{1}{\ln (2)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a

$n$ .

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción

$\frac{1}{2^{n}}$ se acerca a

$0$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Paso 4

Multiplica

$\frac{1}{\ln (2)}$ por

$0$ .

$0$