Cálculo Ejemplos

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Paso 1

Expande ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 - \cos (x))}^{2}$ como $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Paso 1.5

Mueve $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Paso 1.6

Mueve $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 1.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 1.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 1.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 1.11

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 1.12

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Paso 1.13

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Paso 1.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 1.15

Suma $1$ y $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Paso 1.16

Resta $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 5

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Paso 10

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 13

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 14

Simplifica.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Paso 16.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Paso 16.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Paso 16.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 16.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$