Cálculo Ejemplos

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

Paso 1

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ como

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Paso 2

Dado que

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

y

$y$ , mueve

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Paso 5

Sea

u = 2 y

$u = 2 y$ . Entonces

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ , de modo que

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante

u

$u$ y

d

$d$

u

$u$ .

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Paso 5.1

Deja

u = 2 y

$u = 2 y$ . Obtén

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 5.1.2

Como

2

$2$ es constante con respecto a

y

$y$ , la derivada de

2 y

$2 y$ con respecto a

y

$y$ es

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica

2

$2$ por

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante

u

$u$ y

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 6

Combina

\cos (u)

$\cos (u)$ y

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 7

Dado que

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

u

$u$ , mueve

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 8

La integral de

\cos (u)

$\cos (u)$ con respecto a

u

$u$ es

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 9

Simplifica.

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Paso 11.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

y

$y$ .

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Paso 11.4

Multiplica

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Paso 11.4.1

Multiplica

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ por

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 11.4.2

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$