Cálculo Ejemplos

$\int \sin (4 x) e^{\cos (4 x)} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (4 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 4 \sin (4 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (4 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 \sin (4 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Paso 2.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 5

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (4 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{\cos (4 x)} + C$