Cálculo Ejemplos

$\int \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 3

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 5

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Paso 6

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7

Combina $\cos^{2} (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 9

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{2})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Paso 14

Sea $u_{3} = 2 u_{2}$ . Entonces $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 14.1

Deja $u_{3} = 2 u_{2}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 14.1.1

Diferencia $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Paso 14.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $2 u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Paso 14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 14.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 14.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Paso 15

Combina $\cos (u_{3})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Paso 16

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

Paso 17

La integral de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Paso 18.2

Simplifica.

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Paso 18.2.1

Para escribir $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 18.2.2

Combina $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Paso 18.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Paso 18.2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u_{3})$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 18.2.5

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Paso 18.2.6

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 18.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 (1)}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Paso 18.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Paso 18.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Paso 18.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Paso 19

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 19.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Paso 19.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Paso 19.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 u_{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 u_{2})}{2})}{2} + C$

Paso 19.4

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2})}{2} + C$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2})}{2} + C$

Paso 20.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Paso 20.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 20.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Paso 20.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Paso 20.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Paso 20.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

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Paso 20.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Paso 20.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Factoriza $- 1$ de $- \cos (2 x)$ .

$\frac{- (\cos (2 x)) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Paso 21.2

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- (\cos (2 x)) - 1 (- x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Paso 21.3

Factoriza $- 1$ de $- (\cos (2 x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Paso 21.4

Factoriza $- 1$ de $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Paso 21.5

Factoriza $- 1$ de $- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Paso 21.6

Reescribe $- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ como $- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ .

$\frac{- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Paso 21.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Paso 21.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\cos (2 x) - x - \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Paso 21.9

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} (\cos (2 x) - x - \frac{1}{4} \sin (4 x)) + C$