Cálculo Ejemplos

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

Paso 1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe $\sec (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Paso 1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Paso 1.4

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Paso 1.5

Factoriza $\cos (2 x)$ de $\cos^{5} (2 x)$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

Paso 1.6

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Paso 1.7

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

Paso 1.8

Combina $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ y $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

Paso 1.9

Factoriza $\cos (2 x)$ de $\cos^{4} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

Paso 1.10

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Paso 1.11

Reescribe $\tan (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Paso 1.12

Reescribe $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ como un producto.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Paso 1.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.13.1

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Paso 1.13.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.14

Multiplica $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.14.1

Combina $\tan (2 x)$ y $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

Paso 1.14.2

Combina $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ y $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

Paso 1.15

Factoriza $\cos (2 x)$ de $\cos^{3} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

Paso 1.16

Separa las fracciones.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Paso 1.17

Reescribe $\tan (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Paso 1.18

Reescribe $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ como un producto.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Paso 1.19

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.19.1

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Paso 1.19.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.20

Factoriza $\cos (2 x)$ de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.21

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.22

Reescribe $\sec (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.23

Reescribe $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ como un producto.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.24

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.24.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.24.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.24.3

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.24.4

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.24.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.24.6

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Paso 1.25

Multiplica $\sec^{2} (2 x)$ por $\sec (2 x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.25.1

Mueve $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Paso 1.25.2

Multiplica $\sec (2 x)$ por $\sec^{2} (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.25.2.1

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Paso 1.25.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

Paso 1.25.3

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Paso 1.26

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Paso 1.27

Multiplica $\sec (2 x)$ por $\sec^{3} (2 x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.27.1

Multiplica $\sec (2 x)$ por $\sec^{3} (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.27.1.1

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Paso 1.27.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

Paso 1.27.2

Suma $1$ y $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = \sec (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u_{2} = \sec (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Paso 2.1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 3

Combina ${u_{2}}^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{3}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$