Cálculo Ejemplos

$\int \tan (\frac{π}{9} y) d y$

Paso 1

Sea $u = \frac{π}{9} y$ . Entonces $d u = \frac{π}{9} d y$ , de modo que $\frac{9}{π} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{π}{9} y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{π}{9} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{9} y]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{π}{9}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{π}{9} y$ con respecto a $y$ es $\frac{π}{9} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{9} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{π}{9} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{π}{9}$ por $1$ .

$\frac{π}{9}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \tan (u) \frac{1}{\frac{π}{9}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{π}{9}$ .

$\int \tan (u) (1 \frac{9}{π}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{9}{π}$ por $1$ .

$\int \tan (u) \frac{9}{π} d u$

Paso 2.3

Combina $\tan (u)$ y $\frac{9}{π}$ .

$\int \frac{\tan (u) \cdot 9}{π} d u$

Paso 2.4

Mueve $9$ a la izquierda de $\tan (u)$ .

$\int \frac{9 \tan (u)}{π} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{9}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{9}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{π} \int \tan (u) d u$

Paso 4

La integral de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{9}{π} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{9}{π} \ln (| \sec (u) |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π}{9} y$ .

$\frac{9}{π} \ln (| \sec (\frac{π}{9} y) |) + C$