Cálculo Ejemplos

$\int \sin (x) \sqrt{2 + 3 \cos (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 + 3 \cos (x)$ . Entonces $d u = - 3 \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 + 3 \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 + 3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 + 3 (- \sin (x))$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 - 3 \sin (x)$

Paso 1.1.4

Resta $3 \sin (x)$ de $0$ .

$- 3 \sin (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 2.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + 3 \cos (x)$ .

$- \frac{2}{9} {(2 + 3 \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$