Cálculo Ejemplos

$\int p {(p + 6)}^{5} d p$

Paso 1

Sea $u = p + 6$ . Entonces $d u = d p$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = p + 6$ . Obtén $\frac{d u}{d p}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $p + 6$ .

$\frac{d}{d p} [p + 6]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $p + 6$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [6]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [6]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [6]$

Paso 1.1.4

Como $6$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $6$ con respecto a $p$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u - 6) u^{5} d u$

Paso 2

Multiplica $(u - 6) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} - 6 u^{5} d u$

Paso 3

Multiplica $u$ por $u^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $u$ por $u^{5}$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{5} - 6 u^{5} d u$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 5} - 6 u^{5} d u$

Paso 3.2

Suma $1$ y $5$ .

$\int u^{6} - 6 u^{5} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{6} d u + \int - 6 u^{5} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 6 u^{5} d u$

Paso 6

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} u^{7} + C - 6 \int u^{5} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C - 6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{1}{7} u^{7} - 6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{- 6}{6} u^{6} + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{6 \cdot - 1}{6} u^{6} + C$

Paso 8.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)} u^{6} + C$

Paso 8.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1} u^{6} + C$

Paso 8.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{- 1}{1} u^{6} + C$

Paso 8.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{7} u^{7} - u^{6} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $p + 6$ .

$\frac{1}{7} {(p + 6)}^{7} - {(p + 6)}^{6} + C$