Cálculo Ejemplos

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{x}{6}$ . Entonces $d u = \frac{1}{6} d x$ , de modo que $6 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{x}{6}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Paso 1.3

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

Paso 2.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

Paso 2.3

Mueve $6$ a la izquierda de $\cot^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

Paso 3

Dado que $6$ es constante con respecto a $u$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cot^{2} (u)$ como $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Paso 7

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 8

Combina $- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ y $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 9

Evalúa $- u - \cot (u)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Paso 10.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{6})$ es $\sqrt{3}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Paso 10.4

Suma $- \frac{π}{2}$ y $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Paso 10.5

Para escribir $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Paso 10.6

Combina $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Paso 10.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Paso 10.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Paso 10.9

Combina $6$ y $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Paso 10.10

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 10.10.1

Factoriza $2$ de $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Paso 10.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

Paso 10.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

Paso 10.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

Paso 10.10.2.4

Divide $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ por $1$ .

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Paso 11.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Paso 11.2.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Paso 11.2.4

Cancela el factor común.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Paso 11.2.5

Reescribe la expresión.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Paso 11.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.5

Multiplica $- - \frac{π}{3}$ .

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Paso 11.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.5.2

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $1$ .

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.6

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.7

Combina $- π$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.10

Suma $- 3 π$ y $π$ .

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Paso 11.12

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

Paso 11.13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.13.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 π}{3}$ al numerador.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Paso 11.13.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Paso 11.13.3

Reescribe la expresión.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

Paso 11.14

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$4.10911953 \dots$