Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1 + 10 t^{7}}{7 t} d t$

Paso 1

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} \int \frac{1 + 10 t^{7}}{t} d t$

Paso 2

Reordena $1$ y $10 t^{7}$ .

$\frac{1}{7} \int \frac{10 t^{7} + 1}{t} d t$

Paso 3

Divide $10 t^{7} + 1$ por $t$ .

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Paso 3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Paso 3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 t^{7}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Paso 3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Paso 3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 t^{7} + 0$ .

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Paso 3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Paso 3.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

Paso 3.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{7} \int 10 t^{6} + \frac{1}{t} d t$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{7} (\int 10 t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Paso 5

Dado que $10$ es constante con respecto a $t$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} (10 \int t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{6}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$\frac{1}{7} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \int \frac{1}{t} d t)$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{7} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $t^{7}$ .

$\frac{1}{7} (10 (\frac{t^{7}}{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Paso 8.2

Simplifica.

$\frac{1}{7} (\frac{10 t^{7}}{7} + \ln (| t |)) + C$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{7} (\frac{10}{7} t^{7} + \ln (| t |)) + C$