Cálculo Ejemplos

$\int y + y \cos (x y) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d x + \int y \cos (x y) d x$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$y x + C + \int y \cos (x y) d x$

Paso 3

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$y x + C + y \int \cos (x y) d x$

Paso 4

Sea $u = x y$ . Entonces $d u = y d x$ , de modo que $\frac{1}{y} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x y$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Paso 4.1.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$y$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y x + C + y \int \cos (u) \frac{1}{y} d u$

Paso 5

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{y}$ .

$y x + C + y \int \frac{\cos (u)}{y} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{y}$ fuera de la integral.

$y x + C + y (\frac{1}{y} \int \cos (u) d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{y}$ y $y$ .

$y x + C + \frac{y}{y} \int \cos (u) d u$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$y x + C + \frac{y}{y} \int \cos (u) d u$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$y x + C + 1 \int \cos (u) d u$

Paso 7.3

Multiplica $\int \cos (u) d u$ por $1$ .

$y x + C + \int \cos (u) d u$

Paso 8

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$y x + C + \sin (u) + C$

Paso 9

Simplifica.

$y x + \sin (u) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$y x + \sin (x y) + C$