Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

Paso 1

Dado que $5.3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5.3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

Paso 2

Multiplica $5.3$ por $5$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

Paso 3

Sea $u_{1} = w t$ . Entonces $d u_{1} = w d t$ , de modo que $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = w t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $w t$ .

$\frac{d}{d t} [w t]$

Paso 3.1.2

Como $w$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $w t$ con respecto a $t$ es $w \frac{d}{d t} [t]$ .

$w \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$w \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $w$ por $1$ .

$w$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{1} = w t$ .

$u_{lower} = w \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $w$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{1} = w t$ .

$u_{upper} = w \cdot 5$

Paso 3.5

Mueve $5$ a la izquierda de $w$ .

$u_{upper} = 5 w$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

Paso 4

Combina $\sin^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{w}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{w}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

Paso 6

Combina $\frac{1}{w}$ y $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

Paso 7

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Paso 9

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{26.5}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Paso 13

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 13.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 13.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 13.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 13.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 13.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 13.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (5 w)$

Paso 13.5

Multiplica $5$ por $2$ .

$u_{upper} = 10 w$

Paso 13.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

Paso 13.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

Paso 14

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

Paso 15

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

Paso 16

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

Paso 17

Combina $\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Paso 18

Sustituye y simplifica.

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Paso 18.1

Evalúa $u_{1}$ en $5 w$ y en $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Paso 18.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $10 w$ y en $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

Paso 18.3

Suma $5 w$ y $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

Paso 19.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

Paso 19.3

Suma $\sin (10 w)$ y $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Factoriza $26.5$ de $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Paso 20.2

Factoriza $2$ de $2 w$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Paso 20.3

Separa las fracciones.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Paso 20.4

Divide $26.5$ por $2$ .

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Paso 20.5

Combina $13.25$ y $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Paso 20.6

Factoriza $\frac{13.25}{w}$ de $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ .

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.7

Multiplica por $1$ .

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.8

Factoriza $13.25$ de $13.25$ .

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.9

Separa las fracciones.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.10

Divide $1$ por $13.25$ .

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.11

Divide $w$ por $1$ .

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.12

Multiplica $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

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Paso 20.12.1

Combina $0.07547169$ y $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.12.2

Combina $w$ y $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.13

Mueve $0.07547169$ a la izquierda de $w$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Paso 20.14

Reordena los términos.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

Paso 21

Combina $\sin (10 w)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$