Cálculo Ejemplos

$\sqrt{2} \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (y) d y$

Paso 1

Como la derivada de $\tan (y)$ es $\sec^{2} (y)$ , la integral de $\sec^{2} (y)$ es $\tan (y)$ .

$\sqrt{2} \tan (y)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Evalúa $\tan (y)$ en $\frac{π}{6}$ y en $- \frac{π}{6}$ .

$\sqrt{2} (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Paso 2.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Paso 2.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Paso 2.3.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 2.3.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.6

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.7

Multiplica $\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 2.3.7.1

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{3}$

Paso 2.3.7.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Paso 2.3.7.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Forma decimal:

$1.63299316 \dots$