Cálculo Ejemplos

$\int x (1 + \sqrt{x}) d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x (1 + x^{\frac{1}{2}}) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.2

Reordena $x$ y $1$ .

$\int 1 \cdot x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\int x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Paso 2.8

Suma $2$ y $1$ .

$\int x + x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$