Cálculo Ejemplos

$\int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + \int 2 d u)$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + 2 u + C)$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{2} (e^{u} + 2 u) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x^{2})) + C$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Paso 8.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + x^{2} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + x^{2} + C$