Cálculo Ejemplos

$\int x {(x - 7)}^{5} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 7$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u + 7) u^{5} d u$

Paso 2

Multiplica $(u + 7) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 7 u^{5} d u$

Paso 3

Multiplica $u$ por $u^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $u$ por $u^{5}$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 7 u^{5} d u$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 5} + 7 u^{5} d u$

Paso 3.2

Suma $1$ y $5$ .

$\int u^{6} + 7 u^{5} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{6} d u + \int 7 u^{5} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 7 u^{5} d u$

Paso 6

Dado que $7$ es constante con respecto a $u$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 7 \int u^{5} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 7 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{1}{7} u^{7} + 7 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Paso 8.2

Combina $7$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{7}{6} u^{6} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 7$ .

$\frac{1}{7} {(x - 7)}^{7} + \frac{7}{6} {(x - 7)}^{6} + C$