Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}$

Paso 1.1.3.5.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Paso 1.1.3.5.4

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Paso 1.3.5

Resta $\sec^{2} (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Paso 1.3.7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 1.3.8.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) - - \sin (x)}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) + 1 \sin (x)}$

Paso 1.3.8.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2^{1}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 1 \cdot 2}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}$

Paso 4.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.2.4

Reescribe $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.4.1

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.2.4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.4.2.1

Reduce la expresión $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 4.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

Paso 4.2.4.2.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{\sqrt{2}}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{\sqrt{2}}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 4.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 4.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.6.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 4.6.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.7.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.7.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{2}$

Forma decimal:

$- 1.41421356 \dots$