Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{2} (x) d x$

Paso 1

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 + \cos (2 x) d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Paso 5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 5.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Paso 8

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $x$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Paso 9.2

Evalúa $\sin (u)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Paso 9.3

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Paso 10.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 - 0))$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} (1 + 0))$

Paso 10.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 10.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Paso 11.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 11.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 11.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 11.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.64269908 \dots$