Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\sec (x) \tan (x)$ , la integral de $\sec (x) \tan (x)$ es $\sec (x)$ .

$5 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Evalúa $\sec (x)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$5 (\sec (\frac{π}{4}) - \sec (0))$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (0))$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1)$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \frac{2}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Paso 3.3.2

Multiplica $5 \frac{2}{\sqrt{2}}$ .

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Paso 3.3.2.1

Combina $5$ y $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} - 5$

Paso 3.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 5$

Paso 3.4.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 5$

Paso 3.4.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 5$

Paso 3.4.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 5$

Paso 3.4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 5$

Paso 3.4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 5$

Paso 3.4.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 5$

Paso 3.4.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 5$

Paso 3.4.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 5$

Paso 3.4.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 5$

Paso 3.4.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{1}} - 5$

Paso 3.4.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2} - 5$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $2$ de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2} - 5$

Paso 3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)} - 5$

Paso 3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} - 5$

Paso 3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1} - 5$

Paso 3.4.3.2.4

Divide $5 \sqrt{2}$ por $1$ .

$5 \sqrt{2} - 5$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$5 \sqrt{2} - 5$

Forma decimal:

$2.07106781 \dots$