Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y en $0$ .

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 5.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Paso 5.2.4

Suma $\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ y $0$ .

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Paso 6.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 6.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 6.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 6.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 6.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{2}$

Paso 6.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{2}$

Paso 6.5

Divide $2$ por $2$ .

$1$