Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

Paso 2

Sea $u = π - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = π - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $π - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.2.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 2.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = π - x$ .

$u_{lower} = π - 0$

Paso 2.3

Resta $0$ de $π$ .

$u_{lower} = π$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = π - x$ .

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 2.5.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

Paso 5

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

Paso 6

Evalúa $- \cos (u)$ en $\frac{3 π}{4}$ y en $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

Paso 7.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Paso 7.1.3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 7.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Paso 7.1.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Paso 7.1.4

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

Paso 7.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 7.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Paso 7.3.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Paso 7.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{2} + 2$

Forma decimal:

$0.58578643 \dots$