Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 9 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 8 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 8 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 8 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $8$ y $0$ .

$u_{lower} = 8$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Paso 2.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.5.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.5.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.5.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

Paso 2.5.1.5

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = 8 + 19$

Paso 2.5.2

Suma $8$ y $19$ .

$u_{upper} = 27$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$9 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{9}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{9}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ en $27$ y en $8$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $81$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.6

Multiplica $3$ por $81$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.7

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Paso 7.2.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Paso 7.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 7.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

Paso 7.2.11

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

Paso 7.2.12

Combina $- 16$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

Paso 7.2.13

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

Paso 7.2.14

Cancela el factor común de $- 48$ y $4$ .

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Paso 7.2.14.1

Factoriza $4$ de $- 48$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

Paso 7.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.14.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

Paso 7.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

Paso 7.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

Paso 7.2.14.2.4

Divide $- 12$ por $1$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

Paso 7.2.15

Para escribir $- 12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

Paso 7.2.16

Combina $- 12$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

Paso 7.2.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.18

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.18.1

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

Paso 7.2.18.2

Resta $48$ de $243$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{195}{4}$

Paso 7.2.19

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{195}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.20

Multiplica $9$ por $195$ .

$\frac{1755}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.21

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1755}{8}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1755}{8}$

Forma decimal:

$219.375$

Forma de número mixto:

$219 \frac{3}{8}$

Paso 9