Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + \tan (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Paso 1.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

Paso 1.3.1.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

Paso 1.5.1.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Paso 1.5.1.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.1.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $3$ y $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $4$ y en $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Forma decimal:

$0.14384103 \dots$