Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 2.2

Combina ${u_{2}}^{- 5}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

Paso 2.3

Mueve ${u_{2}}^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve ${u_{2}}^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 5.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 5}$ con respecto a $u_{2}$ es $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ en $\frac{1}{2}$ y en $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.4

Combina $- 16$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común de $- 16$ y $4$ .

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Paso 7.2.5.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.5.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 7.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Paso 7.2.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

Paso 7.2.8

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

Paso 7.2.9

Combina $- 4$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

Paso 7.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 7.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.11.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

Paso 7.2.11.2

Suma $- 16$ y $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

Paso 7.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

Paso 7.2.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

Paso 7.2.14

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Paso 7.2.15

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.16

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{15}{8}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{15}{8}$

Forma decimal:

$1.875$

Forma de número mixto:

$1 \frac{7}{8}$