Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos (3 t)) \sin (3 t) d t$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (3 t)$ . Entonces $d u_{2} = - 3 \sin (3 t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u_{2} = \sin (3 t) d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (3 t)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (3 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 3 t$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 t$ .

$- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 t) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 \sin (3 t)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = \cos (3 t)$ .

$u_{lower} = \cos (3 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = \cos (3 t)$ .

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{6})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 (2)})$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 \cdot 2})$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Paso 3

Multiplica $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{3})$ .

$\int_{1}^{0} 1 (- \frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int_{1}^{0} - 1 (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 (\frac{1}{3})$ como $- (\frac{1}{3})$ .

$\int_{1}^{0} - (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + 1 u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 4.4

Multiplica $u_{2}$ por $1$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 4.5

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} d u_{2} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \int_{1}^{0} u_{2} d u_{2}$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $- \frac{1}{3} u_{2}$ en $0$ y en $1$ .

$(- \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

Paso 9.2

Evalúa $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ en $0$ y en $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 9.3.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 9.3.4

Suma $0$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 9.3.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 9.3.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 9.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2})$

Paso 9.3.9

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$

Paso 9.3.10

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Paso 9.3.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

Paso 9.3.12

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 9.3.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.13.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Paso 9.3.13.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

Paso 9.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 1}{6}$

Paso 9.3.15

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$