Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 6 x$ . Entonces $d u_{1} = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 6 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $6$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

Paso 1.5

Multiplica $6$ por $0.9$ .

$u_{upper} = 5.4$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\cos (\sqrt{u_{1}})$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , de modo que $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u_{2}$ y $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Paso 8

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $u_{2} \sin (u_{2})$ en $\sqrt{5.4}$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Paso 9.2

Evalúa $- \cos (u_{2})$ en $\sqrt{5.4}$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Paso 9.3.2

Suma $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

Paso 10

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\sin (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Paso 11.2

Multiplica $\sqrt{5.4}$ por $0.72964498$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Paso 11.3

Evalúa $\cos (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

Paso 11.4

Multiplica $- 1$ por $- 0.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

Paso 11.5

Suma $0.68382614$ y $1$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

Paso 11.6

Multiplica $- 1$ por $1.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

Paso 11.7

Resta $1.68382614$ de $1.69554172$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

Paso 11.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $0.01171557$ .

$\frac{0.01171557}{3}$

Paso 11.9

Divide $0.01171557$ por $3$ .

$0.00390519$