Cálculo Ejemplos

$x y + x^{3} = y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x y' + y + 3 x^{2}$

Paso 2.3.2

Reordena los términos.

$3 x^{2} + x y' + y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + x y' + y = 2 y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $2 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + x y' + y - 2 y y' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + y - 2 y y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.2.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' - 2 y y' = - 3 x^{2} - y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $x y' - 2 y y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x - 2 y y' = - 3 x^{2} - y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 3 x^{2} - y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$ por $x - 2 y$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (x - 2 y) = - 3 x^{2} - y$ por $x - 2 y$ .

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 2 y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - y}{x - 2 y}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (y)}{x - 2 y}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + y)}{x - 2 y}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.5.1

Reescribe $- (3 x^{2} + y)$ como $- 1 (3 x^{2} + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + y)}{x - 2 y}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2} + y}{x - 2 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + y}{x - 2 y}$