Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 3 + \frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} 3 d u + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$3 u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Paso 5

Dado que $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- \frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{9} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{9}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $3 u$ en $1$ y en $0$ .

$(3 \cdot 1) - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Paso 7.2

Evalúa $\frac{1}{5} u^{5}$ en $1$ y en $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Paso 7.3

Evalúa $\frac{1}{10} u^{10}$ en $1$ y en $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$3 + 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.3

Suma $3$ y $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.5

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.7

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.8

Multiplica $0$ por $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.9

Suma $\frac{1}{5}$ y $0$ .

$3 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.10

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4 \cdot 5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.11

Multiplica $4$ por $5$ .

$3 + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.12

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{20}{20}$ .

$3 \cdot \frac{20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.13

Combina $3$ y $\frac{20}{20}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \cdot 20 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.15

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.15.1

Multiplica $3$ por $20$ .

$\frac{60 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.15.2

Suma $60$ y $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} \cdot 1 - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.17

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Paso 7.4.18

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0)$

Paso 7.4.19

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0 (\frac{1}{10}))$

Paso 7.4.20

Multiplica $0$ por $\frac{1}{10}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0)$

Paso 7.4.21

Suma $\frac{1}{10}$ y $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10}$

Paso 7.4.22

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{10 \cdot 3}$

Paso 7.4.23

Multiplica $10$ por $3$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{30}$

Paso 7.4.24

Cancela el factor común de $2$ y $30$ .

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Paso 7.4.24.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2 (1)}{30}$

Paso 7.4.24.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.24.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Paso 7.4.24.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Paso 7.4.24.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{61}{20} - \frac{1}{15}$

Paso 7.4.25

Para escribir $\frac{61}{20}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

Paso 7.4.26

Para escribir $- \frac{1}{15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.4.27

Escribe cada expresión con un denominador común de $60$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.4.27.1

Multiplica $\frac{61}{20}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.4.27.2

Multiplica $20$ por $3$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.4.27.3

Multiplica $\frac{1}{15}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{15 \cdot 4}$

Paso 7.4.27.4

Multiplica $15$ por $4$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{60}$

Paso 7.4.28

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{61 \cdot 3 - 4}{60}$

Paso 7.4.29

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.29.1

Multiplica $61$ por $3$ .

$\frac{183 - 4}{60}$

Paso 7.4.29.2

Resta $4$ de $183$ .

$\frac{179}{60}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{179}{60}$

Forma decimal:

$2.98\overline{3}$

Forma de número mixto:

$2 \frac{59}{60}$

Paso 9