Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 1

Divide $x$ por $x + 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 5

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 5.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $x$ en $1$ y en $0$ .

$(1) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Paso 7.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $2$ y en $1$ .

$(1) + 0 - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 7.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 8

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$1 - \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Paso 9.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$1 - \ln (\frac{2}{1})$

Paso 9.3

Divide $2$ por $1$ .

$1 - \ln (2)$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$1 - \ln (2)$

Forma decimal:

$0.30685281 \dots$

Paso 11