Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ como un producto.

$\int_{0}^{1} \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

Paso 3.2

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{x}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Paso 3.4

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 3.5

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 3.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 3.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Paso 3.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

Paso 7

Evalúa $\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})$ en $1$ y en $0$ .

$(\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})) - \ln (0) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

Paso 8

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida