Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

Paso 1

Sea $u = \frac{π}{4} y$ . Entonces $d u = \frac{π}{4} d y$ , de modo que $\frac{4}{π} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{π}{4} y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{π}{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{π}{4} y$ con respecto a $y$ es $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{π}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{4}{π}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

Paso 2.3

Combina $\tan^{2} (u)$ y $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

Paso 2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{4}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{4}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (u)$ como $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Paso 7

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 8

Combina $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ y $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $- u + \tan (u)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

Paso 10.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

Paso 10.4

Suma $- \frac{π}{4} + 1$ y $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Paso 11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $π$ de $- π$ .

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Paso 11.3.3

Reescribe la expresión.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

Paso 11.4

Multiplica $\frac{4}{π}$ por $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 1 + \frac{4}{π}$

Forma decimal:

$0.27323954 \dots$