Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

Paso 1

Sea $u = t^{4} + 7 t$ . Entonces $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ , de modo que $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = t^{4} + 7 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{4} + 7 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7 t$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$4 t^{3} + 7$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $7$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $7$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $8$ y en $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.7

Suma $2$ y $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.8

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 4.2.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Paso 4.2.12

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Paso 4.2.13

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

Paso 4.2.14

Suma $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ y $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$15.08494466 \dots$

Paso 6