Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} a x + b x^{2} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} a x d x + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Paso 2

Dado que $a$ es constante con respecto a $x$ , mueve $a$ fuera de la integral.

$a \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b x^{2} d x$

Paso 5

Dado que $b$ es constante con respecto a $x$ , mueve $b$ fuera de la integral.

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$a \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + b \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$a ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + b \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$a (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$a (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$a (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$a (\frac{1}{2} - 0) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$a (\frac{1}{2} + 0) + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.5

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$a \frac{1}{2} + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.6

Combina $a$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 7.2.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 7.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 7.2.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} - 0)$

Paso 7.2.3.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{a}{2} + b (\frac{1}{3} + 0)$

Paso 7.2.3.11

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{a}{2} + b \frac{1}{3}$

Paso 7.2.3.12

Combina $b$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{a}{2} + \frac{b}{3}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $a$ .

$\frac{a}{2} + \frac{1}{3} b$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $b$ .

$\frac{a}{2} + \frac{b}{3}$

Paso 9