Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} {(3 x - 2)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x - 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = 3 x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 2$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Paso 1.3.2

Resta $2$ de $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 2$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 - 2$

Paso 1.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 2}^{1} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 2}^{1} \frac{u^{2}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} u^{2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{1}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $1$ y en $- 2$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Paso 5.2.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Paso 5.2.4

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

Paso 5.2.5

Combina $8$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{8}{3})$

Paso 5.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 8}{3}$

Paso 5.2.7

Suma $1$ y $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{3}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3}$

Paso 5.2.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Paso 5.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Paso 5.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1}$

Paso 5.2.8.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3$

Paso 5.2.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3}{3}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3}$

Paso 5.2.10.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 6