Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{6 t}{t^{2} + 1} d t$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{0}^{1} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Paso 2

Sea $u = t^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = t^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 t + 0$

Paso 2.1.5

Suma $2 t$ y $0$ .

$2 t$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 2.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Paso 5.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Paso 7

Evalúa $\ln (| u |)$ en $2$ y en $1$ .

$3 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 8

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$3 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Paso 9.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$3 \ln (\frac{2}{1})$

Paso 9.3

Divide $2$ por $1$ .

$3 \ln (2)$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$3 \ln (2)$

Forma decimal:

$2.07944154 \dots$

Paso 11