Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ por $32 y - 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $32 y - 2$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $32 y$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Paso 1.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Paso 1.3.3

Factoriza $2$ de $2 (16 y) + 2 (- 1)$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Paso 3

Sea $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Entonces $d u = (16 y - 1) d y$ , de modo que $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $8 y^{2} - y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 y^{2} - y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8 y^{2}$ con respecto a $y$ es $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 3.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.5.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$16 y - 1 + 0$

Paso 3.1.5.2

Suma $16 y - 1$ y $0$ .

$16 y - 1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Paso 3.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de $8$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Paso 3.5.3

Suma $7$ y $1$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

Paso 6

Combina $\frac{3}{2}$ y $u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ en $8$ y en $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 7.2.6.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.6.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Paso 7.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

Paso 7.2.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 (6 - \frac{3}{2})$

Paso 7.2.9

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Paso 7.2.10

Combina $6$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Paso 7.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 7.2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.12.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$2 \frac{12 - 3}{2}$

Paso 7.2.12.2

Resta $3$ de $12$ .

$2 (\frac{9}{2})$

Paso 7.2.13

Combina $2$ y $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Paso 7.2.14

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{18}{2}$

Paso 7.2.15

Cancela el factor común de $18$ y $2$ .

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Paso 7.2.15.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Paso 7.2.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.15.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Paso 7.2.15.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.15.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{1}$

Paso 7.2.15.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$9$

Paso 8