Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} {(1 - x)}^{9} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 1.3

Resta $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} - u^{9} d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{0} u^{9} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{9}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$- (\frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{0})$

Paso 4

Combina $\frac{1}{10}$ y $u^{10}$ .

$- (\frac{u^{10}}{10}]_{1}^{0})$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{u^{10}}{10}$ en $0$ y en $1$ .

$- ((\frac{0^{10}}{10}) - \frac{1^{10}}{10})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (\frac{0}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $10$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $10$ de $0$ .

$- (\frac{10 (0)}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $10$ de $10$ .

$- (\frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1} - \frac{1^{10}}{10})$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1} - \frac{1^{10}}{10})$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{0}{1} - \frac{1^{10}}{10})$

Paso 5.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (0 - \frac{1^{10}}{10})$

Paso 5.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (0 - \frac{1}{10})$

Paso 5.2.4

Resta $\frac{1}{10}$ de $0$ .

$- - \frac{1}{10}$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{10})$

Paso 5.2.6

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $1$ .

$\frac{1}{10}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{10}$

Forma decimal:

$0.1$

Paso 7