Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} z^{2} \ln (z) d z$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (z)$ y $d v = z^{2}$ .

$\ln (z) (\frac{1}{3} z^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $z^{3}$ .

$\ln (z) \frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Paso 2.2

Combina $\ln (z)$ y $\frac{z^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $z$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{3} \frac{1}{z} d z)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $z^{3}$ y $\frac{1}{z}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{3}}{z} d z)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $z^{3}$ y $z$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $z$ de $z^{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z} d z)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z^{1}} d z)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $z$ de $z^{1}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{2}}{1} d z)$

Paso 4.2.2.5

Divide $z^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z)$

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $z^{2}$ con respecto a $z$ es $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

Paso 6

Evalúa $\frac{\ln (z) z^{3}}{3}$ en $2$ y en $0$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) z^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

Paso 7

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida