Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} {(x - 6)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 6$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Paso 1.3

Resta $6$ de $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 2 - 6$

Paso 1.5

Resta $6$ de $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 4$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 6}^{- 4} u^{2} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 6}^{- 4}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $- 4$ y en $- 6$ .

$(\frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 64 - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 64$ .

$\frac{- 64}{3} - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Paso 3.2.4

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 216$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 216$ por $- 1$ .

$- \frac{64}{3} + 216 (\frac{1}{3})$

Paso 3.2.6

Combina $216$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{216}{3}$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 3.2.7.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3}$

Paso 3.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}$

Paso 3.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{64}{3} + \frac{72}{1}$

Paso 3.2.7.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$- \frac{64}{3} + 72$

Paso 3.2.8

Para escribir $72$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.2.9

Combina $72$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 64 + 72 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.11.1

Multiplica $72$ por $3$ .

$\frac{- 64 + 216}{3}$

Paso 3.2.11.2

Suma $- 64$ y $216$ .

$\frac{152}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{152}{3}$

Forma decimal:

$50.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$50 \frac{2}{3}$

Paso 5