Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} (y - 1) (2 y + 1) d y$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{2} y (2 y + 1) - 1 (2 y + 1) d y$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y + 1) d y$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.4

Reordena $y$ y $2$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + 1 \cdot y - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y^{1}) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{2} 2 y^{1 + 1} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.9

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.10

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.11

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Paso 1.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 d y$

Paso 1.13

Resta $2 y$ de $y$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} - y - 1 d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{2} y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Paso 5

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $2$ y en $0$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

Paso 10.2

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $2$ y en $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - y]_{0}^{2}$

Paso 10.3

Evalúa $- y$ en $2$ y en $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 10.4.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.5

Suma $\frac{8}{3}$ y $0$ .

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.6

Combina $2$ y $\frac{8}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.7

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.9

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 10.4.9.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.9.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.11

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 10.4.11.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 (0)}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - (2 - 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 + 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.13

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.14

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{16}{3} - 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.15

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.16

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 - 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.18

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.18.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{16 - 6}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.18.2

Resta $6$ de $16$ .

$\frac{10}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Paso 10.4.19

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{10}{3} - 2 + 0$

Paso 10.4.20

Suma $- 2$ y $0$ .

$\frac{10}{3} - 2$

Paso 10.4.21

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10.4.22

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Paso 10.4.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 10.4.24

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.24.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{10 - 6}{3}$

Paso 10.4.24.2

Resta $6$ de $10$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4}{3}$

Forma decimal:

$1.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{3}$

Paso 12