Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Paso 1.3

Resta $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Paso 1.5

Resta $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{- 1}^{1} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $u$ es $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}}]_{- 1}^{1}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $3 u^{\frac{1}{3}}$ en $1$ y en $- 1$ .

$(3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}) - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2.3

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$3 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$3 - 3 {(- 1)}^{1}$

Paso 4.2.6

Evalúa el exponente.

$3 - 3 \cdot - 1$

Paso 4.2.7

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 + 3$

Paso 4.2.8

Suma $3$ y $3$ .

$6$

Paso 5