Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Paso 2

Sea $u = π x$ . Entonces $d u = π d x$ , de modo que $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = π x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Paso 2.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 2$

Paso 2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Paso 3

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Paso 5

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Paso 10

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $- \cos (u)$ en $2 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Paso 13.2

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $2$ y en $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Paso 13.3

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4

Simplifica.

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Paso 13.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 13.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.4

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 13.4.4.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.6

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.8

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 13.4.8.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.8.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 13.4.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

Paso 13.4.10

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 13.4.10.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

Paso 13.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Paso 13.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Paso 13.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

Paso 13.4.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

Paso 13.4.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

Paso 13.4.12

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

Paso 13.4.13

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

Paso 13.4.14

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

Paso 13.4.15

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

Paso 14

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

Paso 15.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

Paso 15.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

Paso 15.4

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

Paso 15.5

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $0$ .

$0 + 4$

Paso 15.6

Suma $0$ y $4$ .

$4$