Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{1}{5 + t} d t d x$

Paso 1

Sea $u = 5 + t$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 5 + t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 + t$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 5 + t$ .

$u_{lower} = 5 + 0$

Paso 1.3

Suma $5$ y $0$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 5 + t$ .

$u_{upper} = 5 + 1$

Paso 1.5

Suma $5$ y $1$ .

$u_{upper} = 6$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 6$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{5}^{6} \frac{1}{u} d u d x$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{5}^{6} d x$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $6$ y en $5$ .

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 5 |)) d x$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 6 |}{| 5 |}) d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $6$ es $6$ .

$\ln (\frac{6}{| 5 |}) d x$

Paso 5.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $5$ es $5$ .

$\ln (\frac{6}{5}) d x$

Paso 6